В итоге музей был основан 15 сентября 1874 года, став четвертый подобным заведением в немецкоязычных странах — первоначально он расположился во «временном выставочном центре». В том же году городской сенат признал недостаток в Гамбурге учреждений в области декоративно-прикладного искусства и утвердил финансирование музея — с целью продвижения регионального искусства и ремесла. В сентябре 1876 года Коммерческое училище, переехало в недавно построенное здание, где в конце месяца был открыт и «Музей прикладного искусства и ремёсел»: он разделил 18 комнат на первом этаже с ботаническим и этнографическим музеями. Целью директора-основателя Бринкмана было «сформировать художественный вкус и повысить художественный уровень местной индустрии» — он хотел показать региональным мастерам образцы удачного дизайна со всего мира.

Бринкманн руководил музеем до 1915 года, регулярно посещая Всемирные выставки для пополнения гамбургской коллекции: до сих пор в коллекцию входят фотографии, постеры, предметы в стиле модерн и японское искусство, собранные в те годы. В 1879 году впервые состоялась специальная ярмарка декоративно-прикладного искусства, которая ежегодно проводится с тех пор. В первые годы своего существования музей даже выдавал предметы из коллекции местным ремесленникам — «для вдохновения». Преемник Бринкмана, Макс Зауэрланд (1919—1933), дополнил коллекцию произведениями искусства: в годы его правления были приобретены работы экспрессионистов. После прихода к власти в Германии национал-социалистов, в апреле 1933 года, он был уволен с поста директора за «приверженность „дегенеративному искусству“». Из 250 картин экспрессионистов, входивших в собрание в 1937 году, сохранились лишь немногие.

В 1943 году здание музея было частично разрушено в ходе воздушного налёта на город; реконструкция была закончена в 1959. Ремесленные школы постепенно покидали музейное здание — последние были закрыты в 1975 году. В 1996 году была начата комплексная реконструкция, которая завершилась уже в XXI веке, в 2012 году. Директор Сабина Шульце, назначенная в 2006 году, преобразовала постоянную экспозицию, разбив её на исторические и/или тематически отделы. Хотя подобная трансформация получила в целом высокую оценку местной прессы, новая экспозиция в отделе фарфора и фаянса была критически воспринята любителей керамики.

Помимо представления постоянной экспозиции, Музей прикладного искусства и ремёсел проводит временные выставки — как из своих фондов, так и арендуя экспонаты. Выставки представляют широкой аудитории как образцы дизайна, так и произведения современного искусства, уделяя особое внимание современной фотографии. Так в начале 2016 года музей проводил выставку о контркультуре (субкультурах) 1980-х годов и её ключевых художниках «Geniale Dilletanten — Subkultur der 1980er-Jahre in Deutschland».

Здание

Музейное здание было построено в 1873—1875 годах по проекту архитектора Карла Иоганна Кристиана Циммермана (1831—1911) как многофункциональное здание. Четырехэтажный комплекс с двумя внутренними дворами был похож на аналогичные проекты в Вене. В 1891 году здание получило пристройку, в которой разместился музей естественной истории — пристройка была разрушена в 1943 году. Тренажерный (физкультурный) зал, изначально «неадекватный» своему предназначению — в связи с наличием в нём четырёх массивных колонн — был вскоре переоформлен в выставочное пространство; в 1952 году он был ещё раз перестроен. Здание было занесено в список архитектурных памятников в 1981 году. В 2000 году библиотека, ранее находившаяся в мезонине, переехала в подвал сохранив свой фонд в 200 000 томов.